摘要:靜力分析的精確程度對大跨度斜拉橋設計和施工過程具有很大影響。提出一套有限元方法,以彎曲能量作為目標函數(shù)確定斜拉索的初始張拉力,通過修正斜拉索的彈性模量,引入幾何剛度矩陣和大撓度矩陣,綜合考慮斜拉索垂度效應、梁柱效應和大位移效應,采用混合法求解系統(tǒng)方程。程序經(jīng)過算例驗證并應用于在建的重慶大佛寺長江大橋,取得了較好的效果,為該橋的施工控制提供了依據(jù)。
關鍵詞:斜拉橋;非線性;垂度效應;梁柱效應;混合法
斜拉橋具有受力合理、造型美觀、施工方便等諸多優(yōu)點,在跨徑400～ 1500 m 的范圍內,已成為最常見的一種橋梁結構形式。作為一種高次超靜定結構,其計算分析的精確程度將直接關系到設計的優(yōu)劣與施工過程中的安全。
近年來,斜拉橋跨度不斷增大,整體結構在恒載及拉索張拉力作用下表現(xiàn)出明顯的非線性特征。本 文提出了一套全面考慮斜拉橋幾何非線性因素的有限元方法,并在工程實踐中得到了驗證。
1 斜拉橋的幾何非線性特征
斜拉橋幾何非線性的產(chǎn)生主要有以下3個來源:1)斜拉索垂度效應;2)梁柱效應;3)大位移效應。
1. 1 斜拉索垂度效應
斜拉索在自身重力作用下產(chǎn)生下垂,其端部位移一部分由材料變形產(chǎn)生,另一部分受拉索垂度影響,造成索力與位移之間的非線性關系。隨著張拉力的增加,垂度逐漸減小,軸向剛度不斷增大。因此當采用直桿單元建立有限元模型時,必須考慮斜拉索的垂度影響。
采用等效彈性模量能夠方便有效的考慮垂度效應,已經(jīng)得到廣泛應用[1,2 ],最早由Ernst 提出的計算等效彈性模量的公式為：
式中:E 為斜拉索材料的有效彈性模量,L 為斜拉索水平投影長度,w 為單位長度上斜拉索重力,A
為斜拉索截面積,T 為斜拉索張拉力。
式(1)得出的是切線模量,當索拉力從T 1 變?yōu)門2 時,建議采用式(2)計算斜拉索的割線模量[3 ]:
對斜拉索的彈性模量進行修正后,就可以象直桿單元一樣建立局部坐標系(見圖1)下的索單元剛度矩陣。
除了上述方法外,還有幾種斜拉索的建模方式, 如多段直桿法、曲線索單元法[4 ]等。
1. 2 梁柱效應
斜拉橋主塔及主梁構件均承受巨大軸力。一方面,軸力的存在引起附加彎矩,從而影響桿件的彎曲 剛度;另一方面,彎矩的存在改變桿件的軸向長度,從而影響其軸向剛度。
通過引入穩(wěn)定函數(shù)可以精確地考慮梁柱效應[2],即采用乘數(shù)因子對壓彎或拉彎桿件的彎曲和軸向剛度進行修正。在局部坐標下(見圖2),修正后的梁單元剛度矩陣可表示為：
S1至S6為穩(wěn)定函數(shù),具體表達式可參考文獻[2]。當P=0 時,所有的穩(wěn)定函數(shù)均為1,kb成為忽略梁柱效應的普通單元剛度矩陣。如果把kb中的各項展開成級數(shù)形式,例如k33S3項中,當軸向力為拉
力時,有：
因此,當對精度要求不是很高時,利用幾何剛度矩陣的修正可以方便有效地考慮梁柱效應。軸向力 為壓力時可得到同樣的結果。
1. 3 大位移效應
大跨度斜拉橋的計算分析中,結構在較小的應變狀態(tài)下就會產(chǎn)生較大的位移(可能達到1m以上),對整個結構的內力分布產(chǎn)生很大影響,因而必須采用有限變形理論[5 ],即考慮變形對剛度矩陣的影響,在新的位置建立平衡方程。
在大位移的情況下,應變和位移的關系不再是線性的,即應變矩陣
式中:B0 是線性分析的應變矩陣,而BL 是由非線性變形引起,與位移列陣δ 有關,一般是δ 的線性函數(shù)。于是單元的切線剛度矩陣中加入由大位移引起的一項
式中:D 為材料彈性矩陣,對梁單元即為彈性模量E,kL 稱為初始位移矩陣或大位移矩陣。
初始位移矩陣的幾何意義為:如果在單元變形后的位置建立局部坐標,并將該坐標系下的剛度矩陣變換到未變形的局部坐標中,則經(jīng)變換產(chǎn)生的矩陣是線性剛度矩陣k0與初始位移矩陣kL之和。
于是綜合考慮梁柱效應和大撓度的梁單元剛度切線剛度矩陣為
2 理想成橋狀態(tài)的非線性分析過程
2. 1 斜拉索初始張拉力的確定
為了確定合理索力T i ,首先必須建立優(yōu)化目標函數(shù)。對于預應力混凝土斜拉橋的設計而言,主要是彎矩控制主梁和橋塔的截面尺寸,均勻的彎矩分布可以取得更好的經(jīng)濟效益,因此選取彎曲應變能作 為優(yōu)化設計的目標函數(shù)。將式(14)代入式(15)并忽略式中的剪力和軸力項,得
2. 2 非線性問題的求解過程
對于線性結構而言,靜力分析的有限元平衡方程為
式中剛度矩陣K 和荷載列陣P 可以按照通用的方法由各個單元的剛度矩陣和節(jié)點力組集而成。由于K中的系數(shù)為常量,因而節(jié)點位移列陣Δ是p的線性函數(shù)。對于非線性結構而言,平衡方程仍然具有式 (18)的形式,只是剛度矩陣K 中的系數(shù)不再是固定值,變成與結構內力位移有關的函數(shù),而節(jié)點位移Δ
是待求的未知量,因此必須采用數(shù)值方法求解上述的平衡方程,求出當前荷載作用下結構的平衡位置。
非線性問題的求解一般采用增量法或迭代法。本文將增量法和迭代法結合起來,即采用混合法(圖4),荷載分級施加,在每級荷載增量之間應用迭代法,荷載增量可以取大一些,既減少了計算誤差,又能夠了解受力全過程。按照上述理論,編制斜拉橋非線性靜力分析程序。
3 驗證算例
利用該程序對文[2]中的非對稱斜拉橋進行了計算,模型如圖5 所示。其它計算參數(shù)如下:彈性模
量E = 191. 352 T Pa;截面慣性矩:主梁I=0. 3884m4 ,上塔柱I=0. 1726m4,下塔柱I=1.726m4;截面面積:主梁A=0.7432m2 ,上塔柱A=0. 2787m2 ,下塔柱A=0.9290m2 ,拉索A=0.1022m2 ;恒載:主梁w=233. 3 kN/ m ,拉索w=4.37kN/ m。
由于采用混合法進行大跨度斜拉橋的非線性分析,因而有效減小了一般增量法造成的累積誤差,迭 代次數(shù)也比通常的Newton-Raphson 法少,對于非線性較大的斜拉橋同樣適用。計算結果見表1、表2。通過比較可以看出,混合法是可靠的。
4 工程實例
重慶大佛寺長江大橋為預應力混凝土雙塔雙索面斜拉橋,其計算模型如圖6 所示。
跨度846m,橋面寬30.6m,設計荷載[7]:汽車—超20 級,掛車—120 型,人群3.5 kN/ m2 。主梁為梁板結構形式,梁肋高2. 7 m,采用塔墩固結,塔梁分離的漂浮體系。
為了簡化非線性分析過程,特作如下假定:1)所有單元中的應力保持在線彈性范圍之內;2)斜拉索
兩端分別固定在主梁和橋塔的錨固點上;3)斜拉索視為完全柔性,忽略其抗彎剛度。
主要控制截面內力與變形結果為:跨中撓度7. 46 cm,彎矩9. 82 MNm,塔頂水平位移9. 73 cm, 塔底彎矩127 M Nm。
5 結 論
對于跨度超過400 m 的斜拉橋,斜拉索垂度、梁柱效應及大撓度引起的整體結構幾何非線性是明顯的,特別在施工階段,斜拉索張拉力較小時,受力狀態(tài)比較危險。通過對斜拉索彈性模量的修正,引入初始位移矩陣和初始應力矩陣,可以方便有效地考慮上述非線性因素的影響。以彎曲能量最小為優(yōu)化目標可以確定出斜拉索在理想成橋狀態(tài)的初始張拉力。
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