摘 要：基于退化殼原理，考慮火災(zāi)下板殼截面的不均勻溫度場分布而引入分層模型，同時在每分層上考慮材料在不同溫度下的熱力彈塑性本構(gòu)關(guān)系，建立了火災(zāi)下鋼筋混凝土板殼結(jié)構(gòu)的有限元數(shù)值計算模型。另外，通過全拉格朗日方法考慮了大位移的幾何非線性影響。最后通過一鋼筋混凝土板在高溫下的試驗進(jìn)行了驗證，并分析了配筋率和保護(hù)層厚度的影響。結(jié)果表明：提出的火災(zāi)下鋼筋混凝土殼單元數(shù)值計算模型的計算結(jié)果與試驗結(jié)果吻合較好，可以用來分析火災(zāi)下鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)樓板的反應(yīng)。
關(guān)鍵詞：鋼筋混凝土板殼；火災(zāi)反應(yīng)；分層模型；薄膜作用；非線性分析
1引言
混凝土板殼結(jié)構(gòu)是實(shí)際工程中常見的結(jié)構(gòu)形式。由于鋼筋混凝土樓板在實(shí)際火災(zāi)中對防止結(jié)構(gòu)破壞起著重要的作用，研究者們[1,5]對混凝土板殼進(jìn)行了抗火試驗與理論研究，由于火災(zāi)試驗費(fèi)用高，周期長等原因，近年來，數(shù)值模擬分析作為一種經(jīng)濟(jì)有效的研究方法受到廣泛重視。早期的研究者在研究框架結(jié)構(gòu)耐火性能時不考慮樓板的作用，或把樓板等效為梁單元進(jìn)行分析[4]，與實(shí)際情況有一定出入。隨后，Linus Lim[6]建立了四結(jié)點(diǎn)四邊形板單元，對混凝土樓板高溫反應(yīng)進(jìn)行了分析，這比等效梁方法取得了更加準(zhǔn)確的結(jié)果。一些真實(shí)的火災(zāi)事例和試驗表明，結(jié)構(gòu)中的樓板在火災(zāi)中有時會出現(xiàn)薄膜作用，對結(jié)構(gòu)的受力形式產(chǎn)生影響。Mohamad[5]等認(rèn)為采用殼單元可以準(zhǔn)確、有效地模擬鋼筋混凝土樓板的火災(zāi)反應(yīng)，尤其是模擬樓板在火災(zāi)中表現(xiàn)出的彎曲和薄膜作用。Huang[12]在分析混凝土樓板火災(zāi)反應(yīng)時，就建立了平板殼單元模型，并開發(fā)了相應(yīng)的計算程序VULCAN。
本文在這些學(xué)者的研究基礎(chǔ)上，基于退化殼理論，建立了考慮不同溫度影響的通用殼單元模型。為了考慮火災(zāi)下板殼截面的不均勻溫度場分布，引入了分層模型，同時在每分層上考慮材料在不同溫度下的彈塑性本構(gòu)關(guān)系，從而準(zhǔn)確地模擬混凝土材料的開裂、屈服與壓碎現(xiàn)象。另外根據(jù)全拉格朗日方法，推導(dǎo)了殼單元切線剛度矩陣，來反映樓板結(jié)構(gòu)發(fā)生大位移后的薄膜張拉效應(yīng)。最后用一鋼筋混凝土板抗火試驗驗證了本文模型的準(zhǔn)確性和有效性。
2 分層殼單元計算模型
本文的殼單元是基于退化殼理論建立的八結(jié)點(diǎn)四邊形單元如圖1所示，通過引入Hinton[13]分層模型把殼單元劃分成可以考慮不同材料性能的相應(yīng)層，鋼筋可以用等效厚度的均勻鋼層模擬，只具有軸向強(qiáng)度和剛度，通過其與整體坐標(biāo)系下的夾角來考慮剛度對其他方向上的影響。假設(shè)混凝土層和鋼層無相對滑移，每層溫度分布均勻，采用9點(diǎn)高斯積分，在每層每個高斯點(diǎn)處可以分析混凝土開裂、壓碎和鋼筋屈服情況。
許多學(xué)者對高溫下材料在的物理和力學(xué)性能進(jìn)行了研究，提出了許多重要的計算公式。利用這些公式和高溫下的材料本構(gòu)關(guān)系可以進(jìn)行結(jié)構(gòu)火災(zāi)分析[6]。本文采用高溫下材料的熱力彈塑性本構(gòu)關(guān)系來分析鋼筋混凝土板在火災(zāi)下的反應(yīng)，在高溫下材料總的應(yīng)變增量可表示為[9]： 
= 
+ 
+ 
+ 
+ 
(1)
式中 
為彈性應(yīng)變； 
為材料屬性變化引起的變形；
為熱應(yīng)變增量； 
為徐變增量； 
為塑性應(yīng)變增量。
考慮等強(qiáng)硬化模型： 
，最終的增量本構(gòu)方程為[9]：
= 
- 
( 
+ 
+
)- 
(2)
式中 
為熱力彈塑性本構(gòu)矩陣， 
為高溫影響的材料膨脹系數(shù)，
= 
， 
= 
，
= 
- 
且 
= 
T 
/ 
3)
本文殼單元模型中，在每一分層的每一個高斯點(diǎn)處假設(shè)：
= 
( 
- 
- 
)= 
(4)
為增量步中總的熱應(yīng)變增量，根據(jù)上面的增量本構(gòu)方程(2)可知：
= 
+ 
+ 
(5)
殼單元應(yīng)變能增量為：
=1/2 
= 
(6)
殼單元表面分布力做功為：
=- 
(7)
則系統(tǒng)總位能為： 
= 
+ 
(8)
= 
- 
- 
- 
=0
由系統(tǒng)最小位能原理：
故單元求解方程為：
= 
+ 
+ 
= 
(9)
通過剛度集成即可求解系統(tǒng)位移增量。
當(dāng)考慮大位移的影響時，每一分層上的單元應(yīng)變位移矩陣 
可分解為線性部分 
和非線性部分 
，
= 
+ 
則 
= 
10)
由單元內(nèi)外力平衡條件：
= 
- 
= 
- 
=0 (11)
對(11)由變分原理可得單元切線剛度矩陣 
：
= 
+ 
- 
=0 (12)
令 
= 
由 
= 
則
= 
+ 
= 
+ 
= 
+ 
(13)
= 
+ 
(14)
式中， 
為式(9) 中的單元剛度， 
= 
為即時應(yīng)力附加幾何矩陣。
為了得到 
，還需要求出 
，考慮VonKarman假設(shè)： 
， 
對 
， 
， 
的導(dǎo)數(shù)為微小量， 
對 
的變分可以忽略，利用全拉格朗日方法[13]：
(15)
非線性部分可表示為：
(16)
R可以用位移矢量 
以及單元形狀函數(shù)表示為：
R= 
=G 
(17)
式中G由單元形狀函數(shù)確定的矩陣。
則 
=1/2SG 
。 (18)
對(16)進(jìn)行變分： 
=1/2 
+1/2 
=S 
=SG 
則 
= SG，在程序中首先計算出 
和G，再用當(dāng)前位移求出S，從而可以求出 
，再迭加到 
中得到最終的應(yīng)變位移矩陣 
。通過對(13)進(jìn)行高斯積分可求得 
，并根據(jù)當(dāng)前應(yīng)力求出幾何矩陣 
，最后根據(jù)(14)求出 
。
3 高溫材料模型
3.1混凝土
本文采用Drucker-Prager屈服準(zhǔn)則和應(yīng)變硬化模型來分析混凝土的受壓狀態(tài)，因為垂直于殼中面的應(yīng)力忽略不計，其應(yīng)力狀態(tài)和雙軸應(yīng)力狀態(tài)差別不大，但是混凝土材料在高溫下的雙軸本構(gòu)關(guān)系研究很少，這里假設(shè)高溫下的屈服面形狀和常溫下的一樣，而相應(yīng)的抗壓強(qiáng)度則采用高溫下的抗壓強(qiáng)度值(見圖3)。為了用一種適合于數(shù)值計算的形式來描述混凝土的本構(gòu)關(guān)系，E. Hinton[13]根據(jù)雙軸試驗結(jié)果以及對等雙軸屈服強(qiáng)度和單向屈服強(qiáng)度關(guān)系的假設(shè)，使Drucker-Prager屈服條件成為只含等效應(yīng)力的函數(shù)：
(19)
式中 
為等效應(yīng)力。這樣根據(jù)應(yīng)變硬化模型和高溫下混凝土的單軸本構(gòu)關(guān)系就可以進(jìn)行高溫下的屈服判斷。具體的混凝土在高溫下的單向受壓應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系如圖4所示：上升階段采用EC4[10]中混凝土高溫本構(gòu)關(guān)系表達(dá)式，軟化階段采用了直線表示，而壓碎條件的判斷也采用與式(19)相似的表達(dá)式，假定等效應(yīng)變達(dá)到極限應(yīng)變 
后認(rèn)為混凝土壓碎并退出工作。
混凝土的受拉應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系假設(shè)為直線，開裂區(qū)采用雙裂縫模型，并采用最大拉應(yīng)力控制準(zhǔn)則假定當(dāng)最大主應(yīng)力達(dá)到了在高溫下的抗拉強(qiáng)度 
，在垂直主應(yīng)力方向產(chǎn)生裂縫。 
根據(jù)不同的溫度確定[2]： 
/ 
=1-T/1000， 
取為0.1 
。為了模擬開裂后裂紋之間的拉伸剛化作用，采用了逐漸減小的垂直于開裂面的應(yīng)力分量來表示(見圖5)。開裂應(yīng)變 
= 
/ 
，當(dāng)超過極限開裂應(yīng)變 
時，則認(rèn)為沒有粘結(jié)作用， 
取為10 
。另外，混凝土熱膨脹系數(shù) 
取為[2]：28(T/1000)×10-6/℃。
混凝土的徐變模式采用文獻(xiàn)[11]中的模型：
(19)
式中： 
且 
3.2鋼筋
高溫下鋼筋采用理想彈塑性模型，其屈服強(qiáng)度 
和彈性模量 
分別為[11]：
(20)
(21)
式中 
， 
分別為常溫下鋼筋的屈服強(qiáng)度和彈性模量。
鋼筋的徐變模式采用Norton徐變模型[9]：
(22)
式中 
=0.37×10-4exp(0.000337/T)
=8.1×10-4[1-4.7×10-4(T-300)]
另外鋼筋熱膨脹系數(shù)取為：0.5 
×10-6/℃。
4 非線性求解過程
為了進(jìn)行鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)火災(zāi)反應(yīng)分析，作者同時編寫了結(jié)構(gòu)火災(zāi)瞬態(tài)熱傳導(dǎo)分析程序(由于篇幅有限，在此不再贅述)，在這里直接用來進(jìn)行樓板熱傳導(dǎo)分析，并假定混凝土裂縫對熱傳導(dǎo)沒有影響。進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析時，程序?qū)φ麄€時間域以及外荷載劃分為一定數(shù)量的增量步，每一增量步內(nèi)的非線性方程組的迭代求解采用了Newton-Raphson迭代方法，分析過程見圖6。
在高溫結(jié)構(gòu)分析中，因為不平衡力?？尚纬善胶獾牧ο担缘^程中，使用力的收斂準(zhǔn)則不很合適，其解不一定單調(diào)收斂，所以本文同時采用結(jié)點(diǎn)不平衡力準(zhǔn)則和結(jié)點(diǎn)位移增量準(zhǔn)則來控制收斂。
5 數(shù)值算例
為了驗證本文提出的分層殼單元的數(shù)值模型，本文用西安建筑科技大學(xué)陳禮剛所做的鋼筋混凝土板抗火試驗[1]來進(jìn)行驗證。該試驗中鋼筋混凝土板試件尺寸為 4.3m×1.5m×0.12m，采取試驗爐墻壁進(jìn)行簡支的方式，允許轉(zhuǎn)動但限制豎向位移。板底部布置了兩層鋼筋，分別具有0.524mm和 0.113mm的等效厚度。
由于試驗中采取了ISO834標(biāo)準(zhǔn)升溫方式，在熱分析時采取標(biāo)準(zhǔn)升溫曲線來模擬火災(zāi)環(huán)境。熱分析程序中將混凝土板沿厚度劃分成6層，每層離散成四個三角形單元。根據(jù)試驗情況板底熱交換系數(shù)取40W/( )，混凝土表面與試驗爐表面輻射率取0.7。本文熱傳導(dǎo)分析程序的分析結(jié)果見圖7和圖8。圖7比較了各時刻板截面溫度分布和試驗結(jié)果；圖8表明在試驗過程中板截面中點(diǎn)的溫度和實(shí)測溫度符合良好。
在結(jié)構(gòu)分析程序中混凝土板沿厚度劃分成6層，鋼筋等效成0.524mm 和 0.113mm的兩層鋼層，剛度方向分別為縱向和橫向。由于荷載以及邊界條件的對稱性，對其四分之一進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析。表面分布荷載為2KN/m2，本文計算的中點(diǎn)豎向位移與試驗結(jié)果、文獻(xiàn)[1]中ANSYS計算結(jié)果進(jìn)行了比較(見圖9)。由圖9可見在溫度小于500℃時，計算值與試驗值相差不大，這是由于材料力學(xué)性能變化較小，熱膨脹占主要影響，板基本處于彈性階段。之后隨著溫度的升高，材料強(qiáng)度和剛度的明顯降低，撓度快速增長，由圖9可見按本文計算模型計算的結(jié)果比文獻(xiàn)[1]的ANSYS計算結(jié)果更加合理。同時由比較可知，在較低溫度時，材料膨脹特性是導(dǎo)致結(jié)構(gòu)變形的主要應(yīng)因素，隨著溫度的升高，材料強(qiáng)度和剛度的降低變?yōu)橹鲗?dǎo)因素。另外，圖10表示了在溫度達(dá)到978℃時板底單元高斯點(diǎn)裂縫出現(xiàn)的情況。
6 參數(shù)分析
鋼筋混凝土板構(gòu)件的耐火性能受許多因素的影響，本文主要考慮配筋率和保護(hù)層厚度。用上述鋼筋混凝土板為分析對象而分別改變其配筋率和保護(hù)層厚度。圖11比較了在相同恒定荷載作用下不同配筋率時板的撓度隨溫度的變化情況，在溫度小于500℃時，配筋率的影響不大，當(dāng)溫度大于500℃后，低配筋率板的撓度變化明顯快于高配筋率的混凝土板的撓度變化?？梢娺m當(dāng)提高配筋率可以改善板的耐火性能。
另外，因為混凝土是熱惰性材料，混凝土板截面存在較大的溫度梯度，并且由于在熱分析時，不考慮保護(hù)層出現(xiàn)的裂縫對熱傳導(dǎo)的影響，所以隨著保護(hù)層厚度的增加，受拉區(qū)鋼筋位置的溫度也就越低，從而鋼筋混凝土板的剛度就越高，圖12反映了不同保護(hù)層厚度時鋼筋混凝土板的撓度隨溫度的變化情況，在溫度較低時，混凝土保護(hù)層厚度對板的撓度影響較小，當(dāng)溫度迅速升高后，保護(hù)層厚度較大的板比保護(hù)層厚度小的板中點(diǎn)撓度增大程度有所減小，這與文獻(xiàn)[1]得出的結(jié)論類似。
7 結(jié)語
結(jié)構(gòu)在高溫和和荷載共同作用下的性能反應(yīng)十分復(fù)雜，實(shí)際工程中的每個結(jié)構(gòu)不可能都靠模型試驗來確定其高溫承載力或耐火極限。本文主要進(jìn)行了以下工作：
(1)根據(jù)退化殼理論，引入分層模型，建立了鋼筋混凝土樓板結(jié)構(gòu)的火災(zāi)反應(yīng)有限元數(shù)值分析模型。
(2)與具體試驗結(jié)果進(jìn)行了驗證比較。結(jié)果表明，本文的建立的模型以及分析程序可以用來分析結(jié)構(gòu)中混凝土樓板的火災(zāi)反應(yīng)。
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