混凝土泵車在布料時(shí)，由于臂架的伸展與回轉(zhuǎn)，臂架自重對(duì)泵車產(chǎn)生的傾覆力矩不斷變化。合理確定支腿的展開位置，保證泵車在任一工況下整機(jī)的穩(wěn)定性，對(duì)于安全施工具有重要意義。本文從整機(jī)重心的軌跡方程入手，以支腿的展開角度為設(shè)計(jì)參數(shù)，確立優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，確定出評(píng)價(jià)泵車穩(wěn)定性的指標(biāo)。通過對(duì)現(xiàn)有泵車參數(shù)的實(shí)際驗(yàn)算，表明在其它結(jié)構(gòu)未變而僅對(duì)展開角度進(jìn)行調(diào)整，泵車的整機(jī)穩(wěn)定性可得到大幅度提高。
1 泵車整機(jī)穩(wěn)定性的探討
1.1 整機(jī)重心軌跡的確定
臂架在展開形式一定的情況下，繞回轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，整機(jī)重心位置的變化規(guī)律如圖1。
設(shè)點(diǎn)A、B、C、O 分別為整機(jī)重心、臂架重心、機(jī)體重心（除臂架以外的部分）、臂架回轉(zhuǎn)中心在水平面的投影位置。以臂架回轉(zhuǎn)中心O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，O 點(diǎn)與C 點(diǎn)之間的連線為縱軸，建立坐標(biāo)系。設(shè)OB=R，OC=B，臂架在某一位置時(shí)與X 軸的夾角為 
，則B點(diǎn)的坐標(biāo)值為B（ Rcos 
， Rsin 
）， C點(diǎn)的坐標(biāo)值為C（O， -b）。根據(jù)解析幾何和重心理論，其整機(jī)重心A 必在B、C 兩點(diǎn)之間的連線上，且A（ (xA，yA）點(diǎn)的坐標(biāo)為：
，則B點(diǎn)的坐標(biāo)值為B（ Rcos ， Rsin ）， C點(diǎn)的坐標(biāo)值為C（O， -b）。根據(jù)解析幾何和重心理論，其整機(jī)重心A 必在B、C 兩點(diǎn)之間的連線上，且A（ (xA，yA）點(diǎn)的坐標(biāo)為：
顯然，式（1）是以 
角為參數(shù)的參數(shù)方程，消除 
角，經(jīng)變換得：
角為參數(shù)的參數(shù)方程，消除 角，經(jīng)變換得：
可見，泵車整機(jī)重心變化的軌跡為一個(gè)圓，圓心O1（見圖1）的坐標(biāo)為（0， 
) ，半徑為
。
) ，半徑為 。1.2 泵車整機(jī)穩(wěn)定性的衡量指標(biāo)
設(shè)泵車前、后支腿的轉(zhuǎn)軸位置和支腿長度一定，若前、后支腿的展開角度分別為 
、
、
、
（見圖2），顯然 （ n=1，2，3，4）各角度值的變化范圍應(yīng)為0 ，900，不同的 
值構(gòu)成了以支腿為4個(gè)頂點(diǎn)的不同的四邊形支承面。衡量各支腿在某一展開角度時(shí)，所構(gòu)造的支承面對(duì)整機(jī)穩(wěn)定性的好壞，先要求出臂架在3600回轉(zhuǎn)時(shí)，整機(jī)重心距該支承面邊緣的最短距離。
、 、 、 （見圖2），顯然 （ n=1，2，3，4）各角度值的變化范圍應(yīng)為0 ，900，不同的 值構(gòu)成了以支腿為4個(gè)頂點(diǎn)的不同的四邊形支承面。衡量各支腿在某一展開角度時(shí)，所構(gòu)造的支承面對(duì)整機(jī)穩(wěn)定性的好壞，先要求出臂架在3600回轉(zhuǎn)時(shí)，整機(jī)重心距該支承面邊緣的最短距離。 先以軌跡圓的圓心點(diǎn)O1為起始點(diǎn)，以點(diǎn)G為垂足，作四邊形中的任意一條邊如M-N線段的垂線，交軌跡圓于點(diǎn)Q，交線段M-N于點(diǎn)G。設(shè)線段QG 的長度值為L1，則L1 為軌跡圓上的點(diǎn)（即臂架回轉(zhuǎn)時(shí)整機(jī)重心的位置）到線段M-N的最短距離，用同樣的方法找出四邊形支承面另外3 條邊與軌跡圓所對(duì)應(yīng)的最短線段長度L2、L3、L4。比較L1、L2、L3、L4 值的大小，找出4個(gè)長度中最短的一個(gè)，設(shè)該最短距離為S min，即： S min=min｛L1，L2，L3，L4｝，則S min的長度值便可用來衡量此時(shí)整機(jī)穩(wěn)定性的指標(biāo)。顯然， S min越大，穩(wěn)定性越好，反之則穩(wěn)定性越差。由穩(wěn)定性理論，各線段長度L1、L2、L3、L4 必須大于零是比較的前提，否則將導(dǎo)致泵車傾翻。
1.3 最佳展開角度所在值域區(qū)間的判斷
假設(shè)支腿的展開角度 
（ n=1，2，3，4）的數(shù)值往兩極方向變化，顯然，當(dāng) 
值過小（→00）或過大（→900）時(shí)， S min值均會(huì)減小甚至是負(fù)值，由于S min為
的連續(xù)函數(shù)，因此必有一個(gè) 
［00< 
<900 (n=1，2，3，4)］，可使S min→max，也就是說，支腿按該角度布置展開，泵車的整機(jī)穩(wěn)定性最好。
（ n=1，2，3，4）的數(shù)值往兩極方向變化，顯然，當(dāng) 值過小（→00）或過大（→900）時(shí)， S min值均會(huì)減小甚至是負(fù)值，由于S min為 的連續(xù)函數(shù)，因此必有一個(gè) ［00< <900 (n=1，2，3，4)］，可使S min→max，也就是說，支腿按該角度布置展開，泵車的整機(jī)穩(wěn)定性最好。2 穩(wěn)定性優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的建立
2.1 求解整機(jī)穩(wěn)定性的最佳支腿展開角度的步驟
整機(jī)穩(wěn)定性優(yōu)化數(shù)學(xué)模型建立的過程也就是按照本文1.1、1.2 和1.3 所說的方法，求得S min、 
。需注意2 點(diǎn)：
。需注意2 點(diǎn)： （1）1.1中所用的方法是在臂架展開形式一定的情況下推導(dǎo)出來的。顯然，臂架全部展開且在水平位置回轉(zhuǎn)時(shí)，整機(jī)重心偏移機(jī)體支承面的程度最大，即整機(jī)的穩(wěn)定性最差。因此研究泵車的穩(wěn)定性問題，就可歸結(jié)為研究泵車臂架全部展開且在水平位置回轉(zhuǎn)時(shí)的穩(wěn)定性問題，故將臂架全部展開且水平回轉(zhuǎn)時(shí)，臂架重心距離回轉(zhuǎn)中心的長度作為（1）式中的回轉(zhuǎn)半徑R的數(shù)值。
(2）支腿在進(jìn)行角度調(diào)整時(shí)，因支腿本身具有重量，因此要考慮支腿重心變動(dòng)時(shí)對(duì)機(jī)體重心位置的影響。為此，可將泵車分為3 個(gè)部分：臂架部分、支腿部分以及車體部分。對(duì)于一定的 
（n=1，2，3，4），則4個(gè)支腿的重心就可完全確定，求出該重心與車體重心的共同重心，并作為式（2）中的機(jī)體重心W2，便可利用式（2）求出重心軌跡圓方程。
（n=1，2，3，4），則4個(gè)支腿的重心就可完全確定，求出該重心與車體重心的共同重心，并作為式（2）中的機(jī)體重心W2，便可利用式（2）求出重心軌跡圓方程。2.2 穩(wěn)定性指標(biāo)的數(shù)學(xué)表達(dá)式
參見圖2，設(shè)點(diǎn)P、S 與點(diǎn)M、N 分別為相鄰兩支腿的轉(zhuǎn)軸中心與支承點(diǎn)，RM、RN 分別等于線段PM 和線段SN，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為：
設(shè)軌跡圓圓心O1 的坐標(biāo)為（0，y01），點(diǎn)O1到直線MN 的距離為L1，則：
用同樣的方法分別求出L2、L3、L4，則該支承狀態(tài)下，泵車的穩(wěn)定性指標(biāo)S min可表示為：
2.3 優(yōu)化數(shù)學(xué)模型
綜上所述，以4 個(gè)支腿展開角度
、
、
、
為優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)，以穩(wěn)定性指標(biāo)（整機(jī)重心距離支承面的最小距離）達(dá)到最大為目標(biāo)函數(shù)，建立如下表達(dá)式：
、 、 、 為優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)，以穩(wěn)定性指標(biāo)（整機(jī)重心距離支承面的最小距離）達(dá)到最大為目標(biāo)函數(shù)，建立如下表達(dá)式：
3 計(jì)算實(shí)例
3.1 優(yōu)化前后的穩(wěn)定性對(duì)比
就實(shí)際使用的泵車而言，大部分泵車的機(jī)體結(jié)構(gòu)（除臂架以外的部分）相對(duì)于泵車的縱軸線是對(duì)稱布置的，即機(jī)體重心與臂架回轉(zhuǎn)中心均在對(duì)稱軸上，支腿的展開角度相對(duì)于縱軸線也是對(duì)稱布置的，因此上面所述的4個(gè)設(shè)計(jì)變量可歸結(jié)為2 個(gè)變量，即： = ； = 。
= ； = 。 以某單位實(shí)際生產(chǎn)的37m泵車為對(duì)象，求該泵車穩(wěn)定性的優(yōu)化解可使用試湊法（取步長0.10或0.050，其精度足以滿足工作需要）或約束變尺度法，輸入泵車的其它相關(guān)參數(shù)（如臂架重心的回轉(zhuǎn)半徑和重量值、車體重心的位置和重量值等），得到 、 的優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果。該泵車原支腿的展開角度和穩(wěn)定性指標(biāo)S min與采用優(yōu)化設(shè)計(jì)后的支腿展開角度和穩(wěn)定性指標(biāo)S min的比較見表1。優(yōu)化后的S min數(shù)值比優(yōu)化前的增加254mm，增加了53.6%.
、 的優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果。該泵車原支腿的展開角度和穩(wěn)定性指標(biāo)S min與采用優(yōu)化設(shè)計(jì)后的支腿展開角度和穩(wěn)定性指標(biāo)S min的比較見表1。優(yōu)化后的S min數(shù)值比優(yōu)化前的增加254mm，增加了53.6%.
3.2 優(yōu)化效果
（1）原泵車支腿張開后確定的四邊形為矩形，而該最優(yōu)解為等腰梯形。
（2）避免了常規(guī)設(shè)計(jì)時(shí)難以精確考慮支腿本身自重的問題。支腿自重約占整車重量12%左右，因此對(duì)穩(wěn)定性有較大影響。
（3）通過對(duì)支腿展開角度的優(yōu)化，顯著提高了泵車整機(jī)的穩(wěn)定性，進(jìn)而減少因操作等原因造成的泵車傾翻事故。
